Повторные независимые испытания

Программные вопросы

3 Повторные независимые испытания. Теорема Бернулли.

4 Теорема Пуассона.

5 Локальная теорема Лапласа.

6 Интегральная теорема Лапласа.

Решение типового примера

Пример 12.4.1.Всхожесть семян данной партии равна 90%. Найти вероятность того, что 1) из пяти посеянных семян взойдёт не менее четырёх; 2) из 100 посеянных семян взойдет 85; 3) из 200 посеянных взойдёт не менее 190. 4) Найдите наивероятнейшее число взошедших семян из 20 посеянных.

Решение. 1) Так как вероятность того, что каждое семя прорастёт р=0,9 и семян для опыта отобрано всего 5, то вероятность того, что прорастет к семян из n посеянных можно найти по формуле Бернулли: Рn(к)=Сnк ркqn-к, где q=1-р.

В нашем случае, вероятность того, что прорастёт не менее четырех семян, находим, используя формулу Бернулли: Р5(к≥4)= Р5(4) + Р5(5)=С54 р4q5-4+ +С55 р5q5-5= (0,9)4 (1- 0,9) + (0,9)5 0,919. Здесь использовано, что Сnк= Сnn-к.

2) Так как число посеянных семян достаточно велико, то здесь необходимо использовать локальную теорему Лапласа, в соответствии с которой Рn(к)= , где , .

Таким образом, Р100(85)= = = = 0,1647=0,0549.

Значения функции находят с учётом того, что она чётная по таблице (см. приложение 1).

3) При достаточно большом числе испытаний вероятность того, что событие появится не менее к1 и не более к2 раз в серии из n независимых испытаний, по интегральной теореме Лапласа: Рn (к1 к к2) Ф(х2) - Ф(х1), где Ф(х)= . Значения функции Ф(х) находятся по таблице (см. приложение 2) с учётом того, что эта функция нечётная и при х> 4 Ф(х)=0,5.

В нашем случае Р200 (190 к 200) Ф(4,71) - Ф(-2,35) = 0,5 +0,4906= =0,9906, так как х1= , а х2= .

4) Наивероятнейшее число наступлений события в условиях схемы Бернулли, когда вероятность появления события в каждом испытании одна и та же и равна р, а п – число испытаний, удовлетворяет условию:

, где .

В нашем случае, р=0,9, q=0,1, п=20, и , то есть, , но - целое число. Следовательно, =18.

Ответ: 1) 0,919; 2) 0,0549; 3) 0,9906; 4) 18.

Пример 12.4.2.Вероятность заболевания животного в стаде равна 0,002. Найдите вероятность того, что среди 1000 голов не окажется больных животных.

Решение. Поскольку вероятность заболевания животного в многочисленном стаде мала, для нахождения требуемой вероятности применим теорему Пуассона, по которой , где . В нашем случае п=1000, р=0,0002, k=0 и . Для нахождения используем таблицу (см приложение 3): 0,1353.



Ответ: 0,1353.

Задачи контрольной работы

12.4.1. Доля зараженности зерна вредителями составляет 0,004. Какова вероятность, что в выборке из 1000 зёрен окажется 5 штук зараженных?

12.4.2. Вероятность рождения бычка при отёле коровы равна 0,5. Найти вероятность того, что от 400 коров родится 190 бычков.

12.4.3. Семена некоторой культуры в 1 кг содержат в среднем 3 семени сорняков. Для опытов отвешивается 200г семян. Определить вероятность того, что в них не окажется семян сорняков.

12.4.4. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется не менее 420 точных.

12.4.5. Вероятность остановки комбайна из-за поломки равна 0,1. Чему равно наивероятнейшее число комбайнов, работающих в поле, если хозяйство имеет 30 комбайнов.

12.4.6. Всхожесть семян груши составляет 70%. Определить вероятность того, что из посаженных четырёх семян взойдут три.

12.4.7. Всхожесть семян пшеницы составляет 85%. Какова вероятность, что из четырех посеянных семян 1) 3 прорастут? 2) не менее трёх прорастёт?

12.7.8. Вероятность поражения земляники серой гнилью равна 0,4. Сколько растений надо взять, чтобы с вероятностью 0,936 можно было утверждать, что выборка содержит хотя бы одно здоровое растение?

12.4.9. Вероятность поражения помидоров фитофторой равна 0,6. Определить вероятность того, что из 100 проверяемых помидоров 55 будет поражено этой болезнью.

12.4.10. Вероятность того, что хотя бы одно из двух семян одной партии взойдёт, равна 0,99. Найти вероятность того, что из пяти семян данной партии взойдет 4.

12.4.11. Нестандартные детали данной партии составляют 8%. Найти вероятность, что из четырёх взятых наугад деталей не менее трёх окажутся стандартными.



12.4.12. На инкубационную закладку поступила партия в количестве 1000 яиц. Вероятность того, что в результате инкубации из яйца вылупится цыплёнок, равна 0,8. Найти наивероятнейшее число вылупившихся цыплят.

12.4.13. Вероятность того, что расход воды в течение дня не превысит норму, равна 0,8. Найти вероятность того, что расход воды будет нормальным в течение 3 из ближайших четырёх дней.

12.4.14. Вероятность поражения яблок паршой равна 0,001. Найти вероятность того, что из 1000 случайно отобранных плодов поражёнными окажутся 2 яблока.

12.4.15. Вероятность изготовления стандартной детали на данном станке равна 0,9. Найти вероятность, что из взятых наугад 300 деталей 250 окажутся стандартными.

12.4.16. Было посажено 400 деревьев. Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев составит от 360 до 375, если вероятность приживания отдельного дерева составляет 0,9.

12.4.17. На некотором участке повреждены градом 20% растений. Какова вероятность, что из 100 растений окажутся повреждёнными от 15 до 25 растений?

12.4.18. Птицефабрика поставляет в магазин 90% яиц первой категории. Найти вероятность того, что в партии 10000 яиц число яиц первой категории будет не менее 8900.

12.4.19. Всхожесть семян данной партии равна 90%. Найти вероятность того, что из 100 посеянных взойдёт 95 семян.

12.4.20. Семена пшеницы содержат 0,2% сорняков. Найти вероятность того, что из 1000 семян будет 3 семени сорняков.

Главная Страница