Модели случайно усеченных выборок (selection-model)

Предположим, что переменные у и z имеют двумерное распределение с коэффициентом корреляции r. Найдем распределение у по случайной выборке (у, z) условии, что уровень переменной z превышает определенное значение (z>b). Интуиция подсказывает, что если у и z положительно коррелированы, то усечение z должно подвинуть распределение у вправо.

Нахождение распределения у связано с определением, во-первых, вида функции плотности случайно усеченного распределения переменных у и z, и, во-вторых, математического ожидания и дисперсии случайно усеченной переменной у при условии, что у и z подчинены закону двумерного нормального распределения.

Усеченная совместная плотность у и z согласно выражению (10.136) при любом распределении этих переменных определяется следующим выражением:

Если у и z распределены согласно двумерному нормальному закону с математическими ожиданиями my и mz и стандартными отклонениями s y и s z, а коэффициент их парной корреляции равен r, то в соответствии с выражениями (10.142)–(10.143) условные математическое ожидание и дисперсия у при усечении z определяются следующим образом:

M[y|z>b]=my+r×s y ×l(b z); (10.169)

D[y|z>b]=sy2×[1–r2×d(b z)], (10.170)

где

b z =(b–my)/s z; (10.171)

l(b z)=f(b z)/[1–F(b z)]; (10.172)

d(b z)=l(b z)×[l(b z)–b z]. (10.173)

Заметим, что при усечении сверху, т. е. z

Из выражения (10.169) следует, что при усечении “снизу” условное математическое ожидание у смещается в направлении корреляции переменных у и z, если усечение проводится “сверху”, то – в направлении противоположном корреляции. Случайное усечение уменьшает дисперсию, т. к. d(b z) и r2 принадлежат интервалу (0,1).

Рассмотрим два примера, иллюстрирующих случайное усечение.

Предположим, что любая женщина выходит на работу только в том случае, если ее потенциальный доход будет превышать некоторый критический уровень (для каждой женщины свой). Допустим, переменная zt представляет собой разность между потенциальным и критическим доходом, и зависимость между переменной zt и влияющими на нее факторами xt1 можно представить следующим образом:

zt=a¢×xt (1)+et(1), (10.174)

где xt(1) – вектор независимых факторов, влияющих на разность доходов (например, возраст, образование, количество детей и т. д.); a – вектор параметров модели; et(1) – ошибка модели.



Для всех женщин, у которых zt>0, требуется определить желательное количество рабочих часов yt. Предположим, что зависимость между переменной yt и влияющими на нее факторами хt(2) также можно описать линейной эконометрической моделью:

yt=b¢×xt(2)+et(2), (10.175)

где xt(2) – вектор независимых факторов, влияющих на желательное количество рабочих часов (например, семейный статус, количество детей и т. д.); b – вектор параметров модели; et(2) – ошибка модели.

Заметим, что вектора xt(1) и xt(2) могут как совпадать, так и отличаться друг от друга.

При формировании модели (10.175) возникает проблема усечения, поскольку данные о часах работы имеются только для работающих женщин, т. е. число часов – случайно усеченная переменная.

В разделе 10.3.1 рассматривалась модель миграции, в которой переменные, влияющие на принятие решения о смене места жительства, были представлены эконометрическими моделями в зависимости от набора соответствующих факторов. В целом модель содержала три уравнения:

чистая прибыль от переезда – Nt*=g¢×wt +ut; (10.176)

доходы при переезде – ytp =a¢×xtp +etp; (10.177)

доходы при “непереезде” – ytm =b¢×xtm +etm. (10.178)

где wt, xtp и xtm – вектора независимых переменных, влияющих соответственно на чистую прибыль от переезда, и доходы в случае переезда и “непереезда”; g, a и b – вектора параметров; ut, etp и etm – ошибки модели.

Предположим, что совокупность мигрантов формируется из числа лиц, желающих переехать, для которых чистая прибыль от переезда положительна. Чистая прибыль от переезда zt*, определяется согласно выражению (10.176) как



zt*=g¢×wt +ut.(10.179)

Для совокупности мигрантов формируется уравнение, связывающее величину их дохода на новом месте уt с некоторым набором факторов xt, характеризующих, например, опыт работы, пол, образование и т. д:

уt=a¢×xt +et. (10.180)

где a – вектор параметров; et – вектор ошибки.

Переменная уt является случайно усеченной, так как информация о доходе мигранта может быть получена, когда переезд индивидуума на новое место жительства уже осуществился, и индивидуум приступил к работе.

Поскольку доход на новом месте и чистая прибыль от переезда взаимосвязаны, ошибки et и ut моделей (10.179) и (10.180) взаимозависимы. Предположим, что они распределены согласно двумерному нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями и коэффициентом корреляции r. В этом случае в соответствии с выражениями (10.169)–(10.170) получим:

M[yt | yt наблюдаемый доход]=M[yt |zt*>0]=M[yt | ut>–g¢×wt]=

=a¢×xt+M[et | ut>–g¢×wt]=a¢×xt +r×se×lt (b u)=a¢×xt +al×lt (bu), (10.181)

где bu =–g¢×wt /su и l t(bu)=f(g¢×wt /su)/F(g¢×wt /su).

Выражение (10.181) показывает, что условное математическое ожидание выборочной совокупности доходов мигрантов при условии zt>0 находится в непосредственной и опосредованной зависимости от факторов xt. Непосредственная зависимость выражается слагаемым a¢×xt, а опосредованная, характеризующая влияние факторов xt на вероятность того, что переменная zt*положительна, определяется слагаемым r×se×lt(bu).

На практике значение переменной zt* не наблюдается, она является латентной. Наблюдаемая переменная z принимает значение 1 (событие произошло) или 0 – в противном случае. В наших примерах: женщина работает или нет, индивидуум мигрирует или нет. С учетом этого представим модель (10.179)–(10.180) в виде совокупности двух следующих моделей:

1. Модели селекции, определяющие выборку мигрантов

zt*=g¢×wt+ut; (10.182)

zt=1, если zt*>0; (10.183)

zt=0, если zt*<0; (10.184)

P(zt =1)=F(g¢×wt ); (10.185)

P(zt =0)=1–F(g¢×wt ). (10.186)

2. Модели дохода мигранта

yt =a¢×xt +et. (10.187)

yt представляет собой значение дохода индивидуума, фактически сменившего место жительства случайную выборку мигрантов, лиц фактически сменивших место жительства, для которого zt =1.

В соответствии с введенным предположнием о зависимости между ошибками et и ut моделей (10.179) и (10.180) закон их совместного распределения характеризуется характеризуется следующими свойствами:

(ut, et)~N(0,0,1, se, r). (10.188)

Согласно выражению (10.169) условное математическое ожидание yt при zt=1определяется согласно выражению:

M[yt |zt=1]=a¢×xt+r×se×l(g¢×wt ). (10.189)

referattwg.nugaspb.ru refannw.ostref.ru smo.deutsch-service.ru referatrsu.nugaspb.ru Главная Страница