Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного интеграла


f(x)≥0

Рассмотрим два случая.

1. площадь S заштрихованной фигуры на рис 1, а, где функция y=f(x) на отдельных промежутках принимает отрицательное значение, выражается формулой:



2. Площадь S фигуры ограничена графиками функции y=f(x) и y=g(x), а так же прямыми АВ и CD (рис 2) вычисляется по формуле:


Определение: Пусть дана дуга кривой АВ. Нанесем на нее произвольные точки Mi (i=0,n) и соединим их хордами (рис 3). Периметр полученной ломаной обозначим Pn. Будем увеличивать число точек Mi на дуге. Длиной дуги кривой АВ называется предел периметра Pn, когда длина наибольшей хорды стремится к нулю (если этот предел существует и не зависит от выбора вершин ломаной). Если дуга задана уравнением y=f(x) на промежутке [a,b] (ищем длину дуги l). Будем считать функцию f(x) непрерывно дифференцируемой. Положенеи произвольных точек Mi определим выбрав абциссы этих точек, т.е. сделав разбиение R отрезка [a,b] точками а=х0< x1< x2<…< xn=b. Длину хорды, соединяющей точки Mi и Mi+1 обозначим ∆li.Ее проекциями на оси координат будут ∆хi ∆уi. Очевидно,


Покажем, как нахождение предела периметра Pn сводится к вычислению интеграла. Представим ∆li в нужном виде:

По формуле конечных приращений Лагранжа



Поставив это выражение ∆уi в формулу ∆li, полуим


Таким образом (1),


Если составить интегральную сумму для функции


с полученными выше точками ξi, то придем к выражению (1), т.е.


кроме того стремление к нулю наибольшей хорда ∆li влечет за собой стремление к нулю


поэтому

(если этот предел существует).


Но по нашим предположениям функция f'(x), а следовательно и функция g(x) непрерывна. Непрерывная функция интегрируема, значит, упомянутый предел существует. Мы доказали, что


Подставляя выражение g(x), получаем формулу длины дуги:

Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.

Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной сверху графиком непрерывной функции y=f(x). (рис 1) Нахождение объема V этого тела сведем к вычислению интеграла.



Делаем разбиение R отрезка [a,b] точками а=х0< x1< x2<…< xn=b. На отрезке [xi, xi+1] строим прямоугольник высотой f(xi). При вращении этого прямоугольника получается цилиндр с радиусом основания f(xi) и высотой ∆ xi. Его объем равен π[f(xi)]² ∆ xi. Построим такие же целиндры для каждого промежутка [x0,x1], [x1,x2],…[xn-1,xn]. Все цилиндры в совакупности образуют тело, назовем его объем Vn.

Определение: Если существует предел Vn, когда


Стремится к нулю, не зависящей от выбора разбиений R, то этот предел называю объемом тела вращения.

Очевидно,


Данная сумма является интегральной суммой для функции,


Которая непреывна по условию. Следовательно, интеграл сществует. Формула для объема тела вращения имеет вид:


Площадь поверхности вращения.

Если площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ (рис 1) задана непрерывна дифференцируемой функций y=f(x), обазначить через Р, то


Исполнение обязательств. Принципы исполнения обязательств.
Числові характеристики статистичних розподілів
После перенесенного ОИМ пациент должен получать
Форми організації суспільного виробництва: натуральне і товарне.
Эволюция форм научной рациональности в истории познания. Понятия классической, неклассической и постнеклассической науки. Специфика научной рациональности в современной культуре.
Произведения поэтов и писателей России
Компьютеризация экспертных исследований
Учение о доброделании, о памятовании смерти и богобоязненности
Коммуникации в организации: виды, этапы и преграды коммуникационного
Правець
Практичні вправи
Как узнать, повинуется ли лошадь поводьям
Товарорух та управління логістикою
Завдання, права і обов’язки комісії з питань ОП.
Мал.7.33 мал.7.34
Напівавтоматичне та автоматичне дугове зварювання під флюсом
ВЙПИЙНЙЮЕУЛЙЕ УЧПКУФЧБ ОБФТЙК-ЛБМЙЕЧПК бфжБЪЩ
Казахстанцы в битве за Москву
Что изображено на рисунке ниже?
Технології отримання харчових волокон з деревини, трав.
Организация как сложная система
Історичний аспект дослідження розвитку казки
СИСТЕМА КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ
Главная Страница