Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня

Враховуючи, що метод Фур’є застосовують при однорід-них крайових умовах, розглянемо задачу про вільні коливан-ня стержня, один кінець якого ( ) жорстко закріплений, а другий ( ) вільний. Ця задача має наступну постановку:

,

П.У. К.У. (5.1)

Припустимо, що функції та можна розкласти в ряд Фур’є по синусах кратних дуг на За методом Фур’є ненульові розв’язки хвильового рівняння, які задовольняють однорідні крайові умови (5.1), шукаємо у вигляді . Знайдемо частинні похідні:

(5.2)

Після підстановки (5.2) у хвильове рівняння, отримаємо:

(5.3)

Враховуючи попередні дослідження, відразу розглянемо випадок, який приводить до коливального процесу, оскільки в інших випадках отримуємо тільки нульові розв’язки. Нехай . Тоді хвильове рівняння розіб’ється на два одно-рідних диференціальних рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами відносно функцій та .

(І)

. (ІІ)

Розглянемо спочатку перше рівняння і знайдемо функцію

.

Характеристичне рівняння

Отже, (5.4)

де А та В – довільні сталі, які будемо шукати із крайових умов (5.1):

Тут , щоб уникнути тривіального розв’язку задачі. Знайдемо . Тоді крайові умови набувають вигляду:

(5.5)

Тут за умовою, , щоб виключити можливість отримання нульового розв’язку. Тоді ,

.

Звідси визначаємо , як множину чисел :

. (5.6)

Тому коефіцієнт залишився невизначеним.

Тепер розглянемо рівняння (ІІ) і знайдемо функцію

.

Характеристичне рівняння

Тоді загальний розв’язок з урахуванням того, що буде таким:

(5.7)

Запишемо частинний розв’язок поставленої задачі:

Введемо позначення: та

Враховуючи позначення, запишемо загальний розв’язок як суму всіх частинних:

(5.8)

або в розгорнутому вигляді:

(5.9)

Щоб знайти невідомі коефіцієнти та , скористаємося початковими умовами. Але спочатку знайдемо

Тепер запишемо початкові умови

(5.10)

Фактично ми отримали розклади функцій та в ряди Фур’є по синусах в інтервалі . Тому коефіцієнти розкладів і можна визначити за відповідними формулами Фур’є.

Таким чином, розв’язок задачі про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а другий вільний, має вигляд:

де , (5.11)

.

Приклад 5.1 Розв’язати задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а до вільно-го кінця прикладено силу P, причому в момент t=0 дія сили раптово припиняється.

Ця задача має наступну постановку:

,

Тобто функції , Звідси

Щоб побудувати розв’язок у вигляді (5.8) знайдемо коефіцієнти :

.

Тоді розв’язок задачі:

.

Приклад 5.2 Поставити і розв’язати задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплено, а до вільного кінця раптово у момент часу прикладено розтягуючу силу P.

Ця задача має наступну постановку:

,

П.У. К.У.

Для того, щоб розв’язати задачу з ненульовими крайовими умовами зробимо заміну :

.

Отримаємо початкові і крайові умови для функції :

Постановка задачі для функції матиме вигляд:

,

П.У. К.У.

Знайшовши за методом Фур’є, відповідь запишемо у вигляді

Контрольні запитання

5.1 У чому полягає постановка для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня?

5.2 У чому полягає суть методу Фур’є для розв’язування задач про поздовжні коливання стержня?

5.3 У чому особливість методу Фур’є стосовно вимог до крайових умов?

Разница между хорошими и плохими долгами
В теперішній час у судах різних інстанцій триває розгляд ще 8 справ за позовами підконтрольних об’єктів.
Загальна характеристика методів дослідження білків.
Вправи на оволодіння мишкою (дія Клацання)
Які з перерахованих юридичних фактів є правочинами і до яких видів угод вони відносяться?
Трудоемкость единицы продукции (нормо-часы)
Фізична культура у військових навчальних закладах кінця XVIIІ – початку ХІХ ст.
Критерием оценки действительности является реальное соблюдение имущественных прав ребенка (Бюллетень Верховного Суда Российской Федерации. 1998. N 2).
Как производится регулирование напряжения
Решите личности профессионала
Вибуття основних засобів
Глава 20. В которой автор задумывается, не превратится ли поместье Малфоев в бордель, кошки признаются кошками, кролики отправляются в Венецию, а крысы в Париж.
Ковалентная связь. Ее характерыне особенности: длина связи, энергия, насыщенность, напрвленность.
Физиологические особенности сна
Обязанности машиниста при приёмке электроподвижного состава в электродепо без подачи на него напряжения 825В.
Класифікація інвестицій підприємства
Look through each paragraph once again and name the key words, make up sentences of your own with them
Постановка медицинской грелки
Розвиток філософської думки в Україні в ХІХ – ХХ століттях.
Подвиги Ионафана Маккавея 160-143 гг. (9,23 – 12,49)
Територіальна структура господарства
Статья 7.4. Дополнительный период (овертайм)
В соответствии с фазами стресса
Главная Страница