Некоторые исторические сведения о возникновении

Лекция 1.

Некоторые исторические сведения о возникновении

И развитии теории вероятностей.

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века и связано с именами Гюйгенса (1629-1695), Паскаля (1623-1662),Ферма (1601-1665) и Я.Бернулли (1654-1705).В переписке Паскаля и Ферма, вызванной задачами, поставленными азартными играми и не укладывающимися в рамки математики того времени, привели постепенно к таким важным понятиям , как вероятность и математическое ожидание. При этом, конечно, выдающиеся ученые, занимаясь задачами азартных игр, предвидели и фундаментальную роль науки, изучающей случайные явления. Они были убеждены в том , что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. Формально-математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи, сводился исключительно к элементарным арифметическим и комбинаторным методам.

Требования со стороны естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдений, задачи теории стрельбы, проблемы статистики) привели к необходимости дальнейшего развития теории вероятностей и привлечения аналитического аппарата. Особенно значительную роль в развитии аналитических методов сыграли Муавр (1667-1754), Лаплас (1749-1827), Гаусс (1777-1855), Пуассон(1781-1840). С середины XIX столетия и приблизительно до двадцатых годов ХХ столетия развитие теории вероятностей связано в значительной мере с именами русских ученых - Чебышева П.Л(1821-1894), Маркова А.А. (1856-1922), Ляпунова А.М. (1856-1918).Этот успех русской науки был подготовлен деятельностью Буняковского В.Я. (1804-1889), широко использовавшего исследования по применению теории вероятностей в статистике, в особенности в страховом деле и демографии.

Современное развитие теории вероятностей характеризуется всеобщим подъемом интереса к ней, а также расширением круга ее практических приложений. Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей

является экономика. Многие экономические показатели (производительность труда, заработная плата, выработка на одного рабочего за смену ,, страховой запас, резервные мощности, государственные резервы, спрос на товары производителя и др.) являются случайными величинами. Прогнозирование экономических явлений осуществляется на основе эконометрического моделирования ,, регрессионного анализа, трендовых и сглаживающих моделей, опирающихся на теорию вероятностей. Результаты теории вероятностей используются для организации производства (статистический контроль в производстве). Большое значение имеет разработка статистических методов управления качеством продукции в процессе производства. Для инженерного дела серьезную роль приобрела теория надежности, широко использующая методы теории вероятностей.

Мы определили в самом начале теорию вероятностей как науку, изучающую случайные явления. Какой смысл вкладывается в понятие «случайное явление» мы рассмотрим несколько позже, а сейчас ограничимся некоторыми замечаниями. В обыденных представлениях, житейской практике считается, что случайные события представляют собой нечто крайне редкое, идущее вразрез установившемуся порядку вещей, закономерному развитию событий . Случайные события, как они понимаются в теории вероятностей, обладают рядом характерных особенностей; в частности, все они происходят в массовых явлениях, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий. Теория вероятностей не занимается изучением уникальных событий , которые не допускают повторений .

Случайные события

Лекция 2 .

Определение случайного события.

Элементарные исходы эксперимента - это простейшие случайные события и определению не подлежат. Однако в каждом случайном эксперименте кроме элементарных могут происходить и другие случайные события . Так, например, в примере 2 можно рассмотреть события:

А - хотя бы один раз появится герб,

В - герб появится при первом бросании,

С - хотя бы один раз появится решка и т. А - выпадение четного числа очков,

В - выпадение числа очков, не меньше 4,

С – выпадение нечетного числа очков и т. д.

Событие А произойдет, если будет иметь место один из исходов экспериментаГГ,ГР,РГ .: выпадет число очков, равное 2 или 4 или 6. Таким образом,

А = = {2, 4, 6} , В = {4, 5, 6}, C = {1, 3, 5} .

Пусть в примере 3 В примере 3 могут произойти события:

А - хотя бы один раз выпадет герб,

В - герб выпадет при первом бросании,

С - хотя бы один раз выпадет решка и т.д. Здесь А={ГГ, ГР, РГ}, В={ГГ,ГР}, С = {РР,РГ,ГР}.

Пусть в примере 4 событие А состоит в том, что будет сделано не более трех бросаний. Тогда

А = .

Рассмотрим задачу о встрече (пример 4).Предположим, что каждое из лиц А и В ожидает другого время, не большее чем t ,

С ={(x, y) : }

(Рис.2 ) .

Рис.2

Те элементарные исходы, при которых событие А наступает, называют благоприятствующими событию А.

Итак, случайное событие А – это некоторое подмножество . состоящее из всех тех точек - элементарных событий, которые благоприятствуют событию А.

Алгебра событий .

Событие называется невозможным, если оно в эксперименте заведомо не наступит и обозначается Событие называется достоверным, если оно в эксперименте заведомо наступит и обозначается . Само множество является достоверным событием, поскольку один из его исходов обязательно произойдет. Так , в примере 2 событие – « выпадение числа очков, равного 7», является в данном случае невозможным , а событие – «выпадение числа очков, не более 6», – достоверное событие.

Если в случайном эксперименте из наступления события А следует наступление события В, то говорят , что А влечет В ( А В ).

Если А В , а В А. то говорят ,что события А и В равносильны ( А = В ).

Суммой двух событий А и В называют событие А + В (А В), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или событие А , или событие В. Сумма событий соответствует объединению множеств , Рис.3.

Рис.3

В примере 2 А + В= { 2, 4, 5, 6}.

Аналогичный смысл имеет сумма любого числа событий. Если I-произвольное множество значений некоторого индекса i, A -некоторое множество событий то сумма есть событие ,происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно событие.

Произведением двух событий А и B называют событие AВ (А В), происхо-

дящее тогда и только тогда, когда происходит и событие А, и событие В ( все события А , i ) .

Произведение событий соответствует пересечению множеств, (Рис.4).

Рис.4

Для событий из примера 2 АВ = { 4, 6 }.

Разностью А \ В двух событий А и В есть событие, происходящее тогда и только тогда. когда происходит А , но не происходит В. Разность событий соответствует разности множеств, (Рис.5)

Рис.5.

В примере 2 А \ В = {2}.

Событие называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит А (соответствует дополнению множеств) Рис. 6.

Рис.6.

В примере 2 = { 1, 3, 5 }.

Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами :

а) А+В = В+А , АВ = ВА (коммутативность);

б) (А+В)+С=А+(В+С) , А(ВС)=(АВ)С (ассоциативность);

в) (А+В)С=АС+ВС) (дистрибутивность умножения относительно cложения).

Отметим еще некоторые очевидные соотношения:

А , А , , .

Два события А и В называются несовместными, если невозможно их совместное наступление, иными словами АВ = .Примером несовместных событий являются А и .

Совокупность событий А ,А , … , А составляет полную группу попарно несовместных событий , если:

1) хотя бы одно из этих событий непременно происходит;

2) любая пара событий несовместна , А А = , i j, i,j= .

Лекция 3.

Классическое определение вероятности.

Вероятность – это количественная оценка возможности наступления

случайного события. По классическому определению, вероятностью случайного события Р(А) называется отношение числа m благоприятствующих исходов к общему числу n равновозможных исходов эксперимента

Р(А) =

Классическая вероятность обладает следующими свойствами:

1. Р(А) 0.

2. Вероятность достоверного события равна 1:

Р( )=1.

3. Если событие С = А+В, причем А и В несовместны, то

Р(С) = Р(А)+Р(В).

4. Вероятность противоположного события равна

Р( )=1- Р(А).

5. Вероятность невозможного события равна нулю

Р( ) = 0.

6. Если А В, то Р(А) Р(В).

7. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей

0 Р(А) 1.

Рассмотрим примеры на вычисление вероятностей.

Пример 1. Один раз подбрасывают монету. Чему равна вероятность выпадения герба?

Здесь , причем исходы эксперимента равновозможны , А={Г} , таким образом m=1, n=2, P(A) = .

Пример 2. Один раз подбрасывают шестигранный игральный кубик. Чему равна вероятность того, что выпадет число очков, не менее четырех ?

-равновозможны, А={4,5,6}, m=3, n=6, P(A) = .

В более сложных задачах не представляется возможным наглядно записать все исходы эксперимента, а также благоприятные случайному событию исходы. В таких случаях применяются комбинаторные методы подсчета чисел m и n.

Пример 3. В ящике находится 10 деталей, среди которых 3 бракованных. Из ящика наугад извлекают 5 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажется две бракованных.

Событие А - среди 5-ти извлеченных деталей 2 бракованных, а три доброкачественных.

Для подсчета m и n используем правило сочетаний:

n = , P(A) = = = .

Отметим недостатки классического определения вероятностей:

1.Классическое определение невозможно применить в случае бесконечного пространства элементарных исходов.

2.Существует проблема нахождения разумного способа выделения «равновозможных случаев». Например, как определить вероятность того, что родившийся ребенок окажется мальчиком?

По мере развития теории вероятностей появлялись другие определения вероятности, которые устраняли недостатки классического. Эти определения будут рассмотрены немного позже.

Случайные величины.

Функция распределения.

Функцией распределения F(x) называется вероятность того, что случайная величина x примет значение меньше x, где x– любое действительное число,

F(x) = р (x < х), где - ¥ < х < ¥

Свойства функции распределения:

1. 0 £ F(x) £ 1

2. При х - ¥ F(x) 0

3. При х + ¥ F(x) 1

4. Вероятность попадания случайной величины в произвольный интервал действительной оси [x ,x ] определяется формулой

р( х1 £ x < х2) = F (х2) – F (х1)

Докажем это свойство. Для этого рассмотрим событие (x < х2). Очевидно, что это событие можно записать в виде суммы:

(x < х2) = ( х1 £ x < х2) + (x < х1), используя формулу сложения для несовместных событий, получим

р(x < х2) = р( х1 £ x < х2) + р(x < х1), откуда следует

F (х2) = р( х1 £ x < х2) + F (х1) или р( х1 £ x < х2) = F (х2)- F (х1).

5. Функция распределения F (х) – неубывающая функция на всей оси Ох, т.е.

если х2 > х1 , то F (х2) ³ F (х1).

Действительно, пусть х2 > х1 , в пункте 5 показано, что для F (х2) справедливо равенство

F (х2) = р( х1 £ x < х2) + F (х1) , а так как р( х1 £ x < х2) 0, то отсюда следует,

что F (х2) ³ F (х1).

6. Функция распределения непрерывна слева , т.е.

.

Зная закон распределения дискретной случайной величины, можно вычислить функцию распределения по формуле

F (x) = ,

где суммирование распространяется на все те значения индекса i, для которых

.

Пример 12. Построить функцию распределения для случайной величины, рассмотренной в Примере 11. Поскольку функция F(x) определена для всей действительных значений x, то рассмотрим последовательно интервалы:

1. х Î (- ∞; 0], F (x) = р(x < x) = 0, так как событие (x < x) на данном интервале является невозможным событием.

2. х Î (0; 1], F (x) = р(x = 0) = 1/4 , здесь неравенству x < x удовлетворяет одно значение x = 0.

3. х Î (1; 2], F (x) = р(x = 0) + P (x = 1) = 1/4 + 1/2 = 3/4 ,здесь неравенству x < x удовлетворяют два значения x = 0 и x = 1.

4. х Î (2; ∞) F (x) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1, на

этом интервале неравенству x < x удовлетворяют все значения случайной величины. Таким образом,

F(x) =

График вычисленной функции приведен на Рис.7.

Рис. 7.

Квантилью порядка р распределения случайной величины x непрерывного типа называется действительное число x , удовлетворяющее уравнению р = р

Лекция 7 .

Математическое ожидание.

Случайные величины помимо законов распределения могут описываться также числовыми характеристиками .

Математическим ожиданием М (x) случайной величины называется ее среднее значение .

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле

М (x) = , (1)

где – значения случайной величины, рi - ихвероятности .

Рассмотрим свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание константы равно самой константе

М (С) = С

2. Если случайную величину умножить на некоторое число k, то и математическое ожидание умножится на это же число

М (kx) = kМ (x)

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий

М (x1 + x2 + … + xn) = М (x1) + М (x2) +…+ М (xn)

4. М (x1 - x2) = М (x1) - М (x2)

5. Для независимых случайных величин x1, x2, … xn математическое ожидание произведения равно произведению их математических ожиданий

М (x1, x2, … xn ) = М (x1) М (x2) … М (xn)

6. М (x - М (x)) = М (x) - М (М(x)) = М (x) - М (x) = 0

Вычислим математическое ожидание для случайной величины из Примера 11.

М (x) = = .

Пример 12. Пусть случайные величины x1, x2 заданы соответственно законами распределения:

x1 Таблица 2

а - 0,1 - 0,01 0,01 0,1
р 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

x2 Таблица 3

b - 20 - 10
р 0,3 0,1 0,2 0,1 0,3

Вычислим М (x1) и М (x2)

М (x1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 · 0,4 + 0,01 · 0,2 + 0,1 · 0,1 = 0

М (x2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 · 0,2 + 10 · 0,1 + 20 · 0,3 = 0

Математические ожидания обеих случайных величин одинаковы- они равны нулю. Однако характер их распределения различный. Если значения x1 мало отличаются от своего математического ожидания, то значения x2 в большой степени отличаются от своего математического ожидания, и вероятности таких отклонений не малы. Эти примеры показывают, что по среднему значению нельзя определить, какие отклонения от него имеют место как в меньшую, так и в большую сторону. Так при одинаковой средней величине выпадающих в двух местностях осадков за год нельзя сказать, что эти местности одинаково благоприятны для сельскохозяйственных работ. Аналогично по показателю средней заработной платы не возможно судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых работниках. Поэтому, вводится числовая характеристика – дисперсия D (x) , которая характеризует степень отклонения случайной величины от своего среднего значения:

D (x) = M (x - M (x))2 . (2)

Дисперсия –это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания. Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле:

D (x) = = (3)

Из определения дисперсии следует , что D (x) 0.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия константы равна нулю

D (C) = 0

2. Если случайную величину умножить на некоторое число k , то дисперсия умножится на квадрат этого числа

D (kx) = k2 D (x)

3. D (x) = М (x2) – М2 (x)

4. Для попарно независимых случайных величин x1, x2, … xn дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

D (x1 + x2 + … + xn) = D (x1) + D (x2) +…+ D (xn)

Вычислим дисперсию для случайной величины из Примера 11.

Математическое ожидание М (x) = 1. Поэтому по формуле (3) имеем:

D (x) = (0 – 1)2·1/4 + (1 – 1)2·1/2 + (2 – 1)2·1/4 =1·1/4 +1·1/4= 1/2

Отметим, что дисперсию вычислять проще, если воспользоваться свойством 3:

D (x) = М (x2) – М2 (x).

Вычислим дисперсии для случайных величин x1, x2 из Примера 12 по этой формуле. Математические ожидания обеих случайных величин равны нулю.

D (x1) = 0,01· 0,1 + 0,0001· 0,2 + 0,0001· 0,2 + 0,01· 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x2) = (-20)2 · 0,3 + (-10)2 · 0,1 + 102 · 0,1 + 202 · 0,3 = 240 +20 = 260

Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем меньше разброс случайной величины относительно среднего значения.

Величина называется среднеквадратическим отклонением. Модой случайной величины x дискретного типа Md называется такое значение случайной величины, которому соответствует наибольшая вероятность.

Модой случайной величины x непрерывного типа Md, называется действительное число, определяемое как точка максимума плотности распределения вероятностей f(x).

Медианой случайной величины x непрерывного типа Mn называется действительное число, удовлетворяющее уравнению

F(x) = .

Лекция 8 .

Примеры дискретных распределений.

1. Биноминальное. Пусть произведено n независимых испытаний. В каждом испытании наступает либо событие А, либо соответственно с вероятностями р, 1 –р. Рассмотрим случайную величину x - число появлений события А в последовательности испытаний.

Закон распределения этой случайной величины можно записать следующим образом

Р (x = m) = , m=0,1,2,…n. (4)

Действительно, рассмотрим выражение (p + q)n =1 , разложим двучлен (p + q)n по формуле бинома Ньютона. Получим

т.е. сумма вероятностей значений случайной величины равна единице, следовательно (4) является законом распределения.

Найдем математическое ожидание:

M (x) = ,

Рассмотрим случайные величины x1, x2, … xn , с одинаковым законом распределения :

xk =

где k = 1,2,…n . Тогда

x = x1 + x2 + … + xn.

Используя свойства математического ожидания получим:

М (x) = М (x1 + x2 + … + xn) = М (x1) + М (x2) +…+ М (xn) .

Найдем математическое ожидание xk , М (xk) = 0 · (1 – p) + 1· p = р, тогда

М (x) = np

Аналогично найдем дисперсию:

D (x) = D (x1 + x2 + … + xn) = D (x1) + D (x2) +…+ D (xn)

D (xk) = (0 – p)2 (1 – p) + (1 – p)2 p = p2 (1 – p) + (1 – p)2 p =

= p (1 – p) (p + 1 – p) = p (1 – p) = p q

D (x) = n p q,

2. Распределение Пуассона.

Пусть произведено бесконечное число испытаний. Рассмотрим случайную величину x -число появлений события А.

m = 0, 1, 2, ...

Закон распределения в данном случае имеет вид:

p (x =m) = , λ > 0 - параметр распределения, m = 0, 1, 2, ... (5)

Покажем, что сумма вероятностей равна единице.

.

Аналогично можно показать, что математическое ожидание и дисперсия соответственно равны ,

М (x) = ,D (x) = .

Закон Пуассона называют законом редких событий.

Плотность распределения .

Плотность распределения вероятностей f(x) характеризует вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал. Эта вероятность равна

площади, заключенной между осью абсцисс и функцией f(x) на интервале

( Рис.8). Функция f(x) = .

Рис. 8

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. f (x) ≥ 0

2.

3. p( a

4. f(x) = в точках непрерывности функции f(x).

Понятие функции распределения, математического ожидания и дисперсии имеет такой же смысл, как в дискретном случае, а вычисляются соответственно по формулам (6) – (8).

(6)

M (x) = (7)

D(x) = (8)

Пример 13. Случайная величина x распределена по закону , определяемому плотностью распределения вероятностей вида

f (x) =

Найти параметр a, F(x), M (x) , D(x) .

Параметр a найдем из свойства , интеграл разобьем на сумму трех интегралов

Нарисуем график плотности распределения f (x) (Рис.9)

Рис. 9

Вычислим функцию распределения, для этого рассмотрим интервалы .

1. х Î (- ∞, 0) ,

2. х Î [0, 2] ,

3. х (2, ) .

График функции приведен на Рис. 10.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

Рис.10

Лекция 9.

Примеры распределений непрерывной случайной величины.

1. Равномерное распределение. Случайная величина x непрерывного типа называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если ее плотность распределения постоянна на этом отрезке:

f(x) = (9)

Вычислим математическое ожидание и дисперсию: ,

=

Рассмотренное в Примере 13 распределение является равномерным при a = 0

и b = 1.

2. Показательное (экспоненциальное) распределение:

Случайная величина x называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром >0, если она непрерывного типа

и ее плотность распределения задается формулой

f(x) = (10)

График функции приведен на Рис.11.

Рис. 11.

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

M (x) = , D (x)=

3. Закон нормального распределения.

Случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами аи >0, если плотность распределения вероятностей имеет вид

f(x) = , (11)

Для того, чтобы построить график этой функции, проведем ее исследование. Вычислим производную

.

При x < a > 0, следовательно на интервале функция возрастает, а при x >a < 0, - функция убывает. В точке x = a– функция имеет максимум.

График функции приведен на Рис.12.

Важное значение в прикладных задачах имеет частный случай плотности нормального распределения при a = 0 и =1

. (12) Функция (12) - четная , т.е. (-x) = (x).

Для значений этой функции имеются таблицы ( Приложение 1).

Рис. 12

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

; ; .

При вычислении интегралов использованы свойства:

1) = 0, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах;

2) =1, как интеграл от плотности нормального распределения с параметрами a= 0 и = 1 ( свойство 2 функции плотности распределения).

Аналогично можно показать, что D (x) = 2 . Параметры a и совпадают с основными характеристиками распределения. В дальнейшем, если плотность распределения случайной величины имеет вид (11),то для краткости будем записывать x ~ N ( ).

Вероятность попадания случайной величины x в интервал вычисляется по формуле (13)

, (13)

где - функция Лапласа

, (14)

функция нормального распределения N(0,1),

для этой функции имеются таблицы (Приложение 2). Отметим, что

Ф(-x) = 1 - Ф(x) (15)

Пример 14. Коробки с шоколадом упаковывают автоматически.Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Какой процент коробок, масса которых превышает 940 г. (вес коробок распределен нормально)?

Из условия задачи параметр а= 1,06, параметр -неизвестен.

Рассмотрим случайную величину x - масса коробок. Требуется определить

p (x > 0,94), т.е. p (x > 0,94) = p (0,94 < x < + ∞)

Из таблицы Приложения2определим ,по формуле (14) имеем

= 1- , тогда

p (0,94 < x < + ∞) 1-1+ = .

Параметр σ найдем из условия р (x < 1) = 0,5

т.е. 1- откуда получим ) = 0,95.

По таблице Приложения 3 определим = 1,645, тогда из равенства

найдем значение . Окончательно получим

.

4.Распределение Парето

Распределение Парето используется при изучении распределения доходов, превышающих некоторый пороговый уровень x0.

f(x) = x0 < x < ∞, α > 0, х0 > 0 – параметры распределения.,

M(ξ)= , D(ξ)= .

Начальные моменты.

Начальным моментом порядка k называется математическое ожидание k-ой степени случайной величины

υк = M(ξк), k = 1,2,…n (16)

υ1 = M(ξ) , первый начальный момент – это математическое ожидание.

Центральные моменты

Центральным моментом степени k называется математическое ожидание к-ой степени отклонения случайной величины от среднего значения.

μк = М (ξ-М(ξ))к (17)

μ1 = М (ξ-М(ξ)) = 0

μ2 = М (ξ-М(ξ))2 = D(ξ)

Центральные моменты всегда можно выразить через начальные.

Например:

М2= М(ξ-М(ξ))2 = М (ξ2-2ξМ(ξ)+М2(ξ) = М(ξ2) - М(2ξМ(ξ))+М(М2(ξ)) = М(ξ2)-2М(ξ)М(ξ)+М2(ξ) = М(ξ2) -М2(ξ) = υ2 - υ12

Центральный момент степени k можно преобразовать к выражению через начальные моменты, используя формулу бинома Ньютона.

Запишем формулы для 3-го и 4-го центральных моментов:

μ3 = υ3 - 3υ1υ2 + 2υ12

μ4 = υ4 - 4υ1υ3 + 6υ1υ22 - 3υ14

Коэффициент асимметрии

(18)

характеризует степень асимметричности распределения. Для симметричного распределения А=0. При А0 – правосторонняя асимметрия.

Рис.13

Коэффициент эксцесса

(19) характеризует степень островерхости распределения. Для нормального распределения Е=0.

Рис. 14.

Лекция 11.

referatqsq.nugaspb.ru referatttz.nugaspb.ru referatuia.nugaspb.ru referattsj.nugaspb.ru Главная Страница