ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Плоским движением называется такое движение, при котором все точки абсолютно твердого тела движутся параллельно одной плос- кости. Например, при качении цилиндра (колеса) по горизонталь- ной поверхности все точки движутся в плоскости XOY, перпендику- лярной поверхности (рис. 5.7). Рассмотрим движение произвольной точки А при ее перемещении вместе с цилиндром из положения 1 в положение 3. Представим сложное движение любой точки цилин- дра (траектория такого дви жения называется циклоида) как сумму двух простых движений: поступательного движения из положения 1 в положение 2 относительно неподвижной системы ко ординат K и вращательного движения из положения 2 в положение 3 (поворот на угол j вокруг оси, проходящей через центр масс системы точку С) относительно движущейся системы кординат K ¢ , жестко связанной с центром масс системы. Выберем за начало инерциальной системы отсчета К неподвижную точку О, совпадающую в начальный момент с центром масс системы точкой С.

о

K y

x а

z

K `

z` x` б

Рис. 5.7

� � �
В неподвижной системе координат K (рис. 5.7а) имеем равенство

r = r0 + r ¢ ,

где вектор � — перемещение точки А из начального в конечное. Век-

� r

тор r0 — перемещение в этой же системе отсчета за это же время точ-


5.7.Плоское движение твердого тела 313

ки А, совершающей поступательное движение из начального поло- жения в промежуточное. Отметим, что центр масс тела точка С при движении цилиндра совершает только поступательное перемеще- ние. Из (рис. 5.7а) следует, что поступательное движение т. А совпа-

r
дает с движением точки С. Вектор �¢ — перемещение в системе от-

счета К т. А из промежуточного положения в конечное. Последнее перемещение можно представить (рис. 5.7б) как вращение вокруг неподвижной оси в системе отсчета K ¢ , жестко связанной с движу-

щимс�я ц�ентром масс системы (т. С). В этой системе отсчета вектор

r ¢ = R - R0�. Продифференцируем указанное выше векторное равен-


ство для r по времени


� � �

¢
dr = dr0 + dr . (5.50)


По определению


dt dt dt

� �


� dr � dr0



v =

� dt


и v0 = dt .


Так как R0 не меняется со временем, то

� � � �


dr ¢ =dR -dR0 =dR =� ,

v dt dt dt dt л

� � �

и
vл = [wЦ , R] ,


где


� � — линейная и угловая скорости вращательного движе-


ния вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс. Таким образом, имеем

� � �

v = v0 + [wЦ, R] . (5.51)

Так как при поступательном движении все точки тела движутся одинаково, то

� 1 � 1 � m � �

vC = m åmiv0i = m (åmi )v0 = m v0 = v0

i i

и � � �

v = vС+ [wЦ, R] . (5.52)

Таким образом, плоское движение твердого тела можно предста- вить как сумму поступательного движения его центра масс и враща- тельного движения относительно неподвижной оси, проходящей че- рез центр масс.


В общем случае скорость твердого тела при плоском движении мож- но представить как векторную сумму скоростей поступательного дви- жения любой его точки (не обязательно центра масс) и вращательно- го движения, обусловленного вращением вокруг оси, проходящей через эту точку.

Если представлять плоское движение твердого тела через движение его центра масс, то система уравнений (5.1) и (5.27) сводится к виду

� �

maC = F , (5.53)

IC eЦz = MЦz. (5.54)

Здесь IC — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс. Переменные в первом уравнении рассчитыва- ются относительно инерциальной системы отсчета, а во втором — относительно системы, связанной с центром масс (инерции), т. е. в Ц-системе.

Главная Страница