Системы линейных уравнений и их решение

3.1. Решение систем линейных уравнений методом последователь-ного исключения неизвестных (методом Гаусса). В основе метода Гаусса лежат элементарные преобразования над системой линейных уравнений, приводящих данную систему к такому виду, из которого все ее решения находятся непосредственно.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

а11х1 + а12х2 + . . . + а1пхп = b1 ,

а21х1 + а22х2 + . . . + а2пхп = b2 ,

. . . . . . . . . . . .

ат1 х1 + ат2х2 + . . . атпхп = bm.

Возможны два случая.

1) Среди уравнений системы имеется такое, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, т.е. уравнение 0 ∙ х1 +0 ∙ х2 + . . . + 0 ∙ хп = b, где b – число отличное от нуля. В этом случае никакой набор значений х1, х2, х3, . . ., хп не может удовлетворять такому уравнению, поэтому система уравнений несовместна.

2) В каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. Для определенности положим а11 ≠ 0. исключим х1 из всех уравнений системы начиная со второго. Для этого из второго уравнения вычтем первое, умноженное на , затем аналогично поступим с третьим, четвертым и всеми оставшимися уравнениями системы. В результате этих преобразований система примет вид:

а11х1 + а12х2 + . . . + а1пхп = b1 ,

а х2 + . . . + а хп = b ,

. . . . . . . . .

а х2 + . . . а хп = b .

Положив а ≠ 0, исключая неизвестную х2 проведем аналогичные преобразования со всеми уравнениями полученной системы начиная с третьего. В результате либо придем к несовместной системе линейных уравнений, либо к системе уравнений вида:

а11х1 + а12х2 + а13х3 +. . . + а1пхп = b1 ,

а х2+ а х3 + . . . + а хп = b ,

а х3+. . . + а хп = b ,

. . . . . . . . .

а х3 + . . .+ а хп = b .

Продолжая этот процесс, мы обязательно придем к одному из двух случаев.

I. Либо после какого-то шага получится система, содержащая уравнение вида 0 ∙ х1 +0 ∙ х2 + . . . + 0 ∙ хп = b, где b – число отличное от нуля. Тогда исходная система уравнений несовместна.

II. Либо мы придем к системе вида

а11х1 + а12х2 +. . . + а1kхk +. . . + а1пхп = b1,

а х2+ . . . + а хk +. . .+ а хп = b ,

. . . . . . . . . . . . . .

а хk + . . .+ а хп = b ,

где k ≤ n.

а) Если k = n, то система принимает вид

а11х1 + а12х2 +. . . + а1kхk = b1,

а х2 + . . .+ а хk = b ,

. . . . . . . . . .

а хk = b

и имеет единственное решение.

б) Если k < n, то система имеет бесконечное множество решений. При этом, придавая различные значения переменным хk+1, хk+2, . . ., хп, получаем различные значения переменных х1, х2, х3, . . . , хk .

Практически процесс решения системы линейных уравнений можно облегчить, если вместо преобразований над системой производить преобразования над её расширенной матрицей:

Пример: Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных:

3х1 - х2 + 2х3 – 3х4 = -2,

х1 + 3х2 – х3 + 2х4 = 2,

2х1 + х2 – 5х3 – х4 = -1,

-5х1 + х3 + х4 = -3.

Решение.

Данной системе соответствует расширенная матрица:

~ ~ ~

~ ~ ~ .

Последней матрице соответствует система:

х1 + 3х2 – х3 + 2х4 = 2,

5х2 + 3х3 + 5х4 = 5,

11х3 + х4 = 2,

-2 х4 = -5 .

Из полученной системы находим: х4 = 2; х3 = 0; х2 = -1; х1 = 1.

Ответ: х1 = 1; х2 = -1; х3 = 0; х4 = 2.

Главная Страница