Розглянемо приплив пружної рідини до точкового стоку (джерела) в необмеженому пласті. Для цього випадку диференціальне рівняння має такий вигляд:
(9.61)
або з урахуванням наявності осьової симетрії (див. підрозд. 4.3)
(9.62)
чи
(9.63)
Нехай задано постійний об’ємний дебіт стоку . Тоді початкова і граничні умови наберуть вигляду:
. (9.64)
Останню умову конкретизуємо так:
. (9.65)
Задача може бути розв’язана методами Фур’є, операційним. Легко одержується розв’язок на основі аналізу розмірностей. Шуканий тиск залежить від п’яти визначальних параметрів r, t, , рк , , три з яких мають незалежні розмірності (r, t, рк).
Тоді безрозмірний тиск залежить від двох безрозмірних комплексів:
. (9.66)
Другий комплекс є постійним параметром. Звідси випливає, що задача автомодельна, оскільки шуканий безрозмірний тиск залежить тільки від однієї змінної , яку для подальшої зручності беремо з числом 2 у знаменнику, тобто
. (9.67)
Тоді аналогічно попередньому рівняння (9.62) зводиться до звичайного диференціального рівняння, а розв’язок задачі зводиться до формули, яку називають основною формулою пружного режиму пласта. Так, для безрозмірного тиску диференціальне рівняння (9.62) запишеться:
(9.68)
Для розв’язування рівняння (9.68), диференціюючи вирази (9.66) і (9.67), знаходимо:
Підставляючи знайдені вирази в рівняння (9.68) і враховуючи, що отримуємо звичайне диференціальне рівняння
або
(9.69)
яке необхідно розв’язати за початкової і граничної умов, які випливають із умов (9.64):
. (9.70)
Використовуючи підстановку , послідовно знаходимо:
(9.71)
де вираз (9.71) – загальний розв’язок рівняння (9.69); – постійні інтегрування.
Постійну знаходимо із граничної умови (9.70), тобто
Постійну знаходимо з використанням початкової умови (9.70), а саме:
звідки розв’язок (9.71) набуває вигляду:
(9.72)
Позначаємо , тоді
,
а розділивши на , маємо
.
Переходячи до розмірного тиску , отримуємо основну формулу пружного режиму:
(9.73)
або
. (9.74)
Інтеграл у формулі (9.73) називається інтегральною показниковою (експоненціальною) функцією, що табульована в довідниках і позначається так:
, (9.75)
де .
Об’ємну витрату рідини через будь-яку поверхню фільтрації з координатою r отримуємо за формулою
а диференціюючи формулу (9.73), маємо:
або
(9.76)
Для малих значин аргументу , коли , з похибкою до 1% інтегральну показникову функцію можна приймати наближено, утримавши перших два члени розкладу функції у ряд:
, (9.77)
де се = 0,5772… – постійна Ейлера.
Тоді основну формулу пружного режиму наближено запишемо ще й так:
. (9.78)
Із формули (9.78) маємо похідні по часу t і радіусу r у вигляді:
; (9.79)
, (9.80)
із яких слідує, що темп зміни тиску не залежить від координати r, а градієнт тиску збігається з градієнтом тиску в разі усталеної фільтрації нестисливої рідини (див. підрозд. 4.3). Оскільки у разі усталеної фільтрації
,
то звідси отримуємо рівняння (9.69), тобто
.
формулою (9.74) не перевищує 1%, але надалі збільшується.
Якщо , причому тут – зведений радіус свердловини, то одержуємо із формул (9.74) і (9.78) зміну депресії тиску в часі:
; (9.81)
(9.82)
або
, (9.83)
де відповідно
(9.84)
та
. (9.85)
Формулу (9.82) можна інтерпретувати як формулу Дюпюї:
, (9.86)
де радіус контура пласта
. (9.87)
Із рівняння (9.87) випливає, що радіус зони збурення тиску (збуреної області) зростає у часі, а коефіцієнт п’єзопровідності характеризує швидкість поширення збурень тиску в пласті, так як
Главная Страница